Teaching
Prépa agreg
Vous trouverez ci-dessous des documents relatifs a la préparation a l'agrégation de mathématiques.
- Notes sur les sous-varietes de R^n, le théoreme d'inversion locale et diverses applications. (9 pages)
- Deux demonstrations classiques de la loi forte des grands nombres. (4 pages)
- TD sur la compacité, et deux démonstration peu connues et élégantes d'un résultat bien connu sur les sous-groupes compacts de GL(R^n) ici et la.
- Une démonstration tres courte de l'existence de la decomposition de Jordan des endomorphismes de k^n, pour tout corps k algebriquement clos. (1 page)
- Une démonstration courte du theoreme d'invariance du domaine, affirmant que deux espaces vectoriels de dimensions finies sont homeomorphes si et seulement si ils ont meme dimension. (2 pages.)
- Le point sur la transformée de Laplace et les theoremes tauberiens de Karamata et Ikehara. (5 pages et demi)
- Une demonstration tres courte et auto-contenue du theoreme des nombres premiers basee sur le theoreme tauberien d'Ikehara -- les deux sont demontres. (4 pages)
- L'indispensable sur les espaces de Banach et leurs transformations linéaires. (2 pages)
- Vous trouverez ici des demonstrations simples, courtes et auto-contenues des theoreme d'extension de Caratheodory, d'une construction de la mesure de Lebesgue et du theoreme de representation de Riesz. (4 pages)
- Demonstrations simples basees sur les fonctions holomorphes de deux resultats fondamentaux : injectivite de la transformee de Fourier sur L1(R) et petit theoreme de Picard. (2 pages)
- Un point de vue geometrique simple sur les fonctions meromorphes. Application a la compacite dans cet espace et au grand theoreme de Picard. (3 pages)
- Une demonstration simple et auto-contenue du theoreme de Ruffini et Abel affirmant l'impossibilite de donner une formule par radicaux pour les racines d'une equation algebrique generique de degre 5. (3 pages)
- Le theoreme de representation de Kolmogorov affirme que toute fonction sur le cube de dimension n se represente a l'aide de (2n+1) fonctions de references d'une seule variable et de l'operation d'addition. La demonstration donnee ici trouve les fonctions de references a l'aide du theoreme de Baire et montre donc que 'presque tout' (2n+1) uplet de fonctions fait l'affaire. (2 pages)
- On donne une demonstration courte et auto-contenue du theoreme de differentiation de Lebesgue affirmant que la moyenne d'une fonction Lebesgue integrable sur une boule de rayon tendant vers 0 converge pour Lebesgue presque tout centre vers la valeur de la fonction en ce point lorsque le rayon de la boule tend vers 0. (1 page)
- L'approche effective de la decomposition de Dunford d'un endomorphisme, via l'algorithme de Newton. (1 page et demi)
M2 probabilites-statistiques
Vous trouverez ci-dessous des notes pour un cours de M2 sur les chemins rugueux / rough paths que j'ai donné plusieurs années dans le Master 2 de probabilités de Rennes 1. Lecture notes are available, with separate Files for the different parts of the course below. Here are also some slides for the course.
- The first part of the course introduces the machinery of approximate flows as a tool for constructing flows.
- The second part of the course introduces the set of p-rough paths and their topology.
- Rough differential equations on flows are considered in the third part, using the machinery of approximate flows developped in the first part.
- The fourth part develops the now classical applications Lyons' universal limit theorem (that is the continuity of Ito solution map associated with a rough differential equation) to stochastic analysis, such as Stroock and Varadhan support theorem and the basics of Freidlin-Wentzell large deviation theory.
Cambridge Part III -- Advanced Probability
During my stay in Cambridge as a postdoc (2007-2011), I taught for two years the Part III course Advanced Probability. I wrote my own set of lecture notes for the occasion; you can find them below. The first part of the course deals with the construction of measures and processes, and ranges from Caratheodory and Kolmogorov's extension theorems to the use of weak convergence in separable Banach spaces. The second part of the course gives the basics of Doob's classic theory of discrete and continuous time martingales. The third part studies in some detail Brownian motion and Lévy processes. A number of complements related to the material treated in the course are included. Special attention has been paid to provide short and simple complete proofs of all the results.
Notes on potential theory
You can find below three lecture notes that I have written about different aspects of potential theory, at a basic level; they are written in french. The first paper is about the probabilistic treatment of Dirichlet problem, the second is about electrostatics and equilibrium measures (without probability), and the third one is about convexity, from the basics to Krein-Milman theorem and Choquet theory on integral representations in convex sets.